分治算法 (Divide and Conquer)

分治的核心思想是：分而治之。

将一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单地直接求解，原问题的解即子问题解的合并。

分治三步曲

1. 分解 (Divide): 将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题。
2. 解决 (Conquer): 若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题。
3. 合并 (Combine): 将各个子问题的解合并为原问题的解。

经典应用：归并排序 (Merge Sort)

归并排序是典型的分治算法。

1. 分: 把数组从中间切成两半。
2. 治: 递归地对左右两半进行归并排序。
3. 合: 将两个有序的子数组合并成一个有序数组。

def merge_sort(arr):
    # Base Case: 只有一个元素时，天然有序
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    # 1. Divide: 从中间切分
    mid = len(arr) // 2
    left_half = merge_sort(arr[:mid])
    right_half = merge_sort(arr[mid:])

    # 2 & 3. Conquer & Combine: 合并两个有序数组
    return merge(left_half, right_half)

def merge(left, right):
    sorted_arr = []
    i = j = 0

    # 谁小取谁
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            sorted_arr.append(left[i])
            i += 1
        else:
            sorted_arr.append(right[j])
            j += 1

    # 处理剩余元素
    sorted_arr.extend(left[i:])
    sorted_arr.extend(right[j:])

    return sorted_arr

# 测试
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
print(merge_sort(arr))
# 输出: [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

时间复杂度: \(O(n \log n)\)
空间复杂度: \(O(n)\) (需要额外空间辅助合并)

经典应用：快速排序 (Quick Sort)

快速排序也是分治思想，但策略与归并不同。

1. 分: 选一个基准值 (Pivot)，把比它小的放左边，比它大的放右边。
2. 治: 递归地对左右两部分进行快速排序。
3. 合: 不需要显式合并，因为数据在原数组中已经归位了。

def quick_sort(arr):
    # Base Case
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    pivot = arr[len(arr) // 2]  # 选中间值做基准
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    middle = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]

    # 递归连接
    return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)

print(quick_sort([3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]))

本章小结

• 分治法将 \(O(n^2)\) 的问题优化为 \(O(n \log n)\) 是极其常见的。
• 归并排序：先递归切分，重点在合并 (Merge)。
• 快速排序：重点在切分 (Partition)，利用基准值直接归位。

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